Название: Элементы теории множеств - Киреенко С.Г. Жанр: Математика Рейтинг: Просмотров: 1961 |
Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
1.2. Способы задания множествЧтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество содержит немного элементов, то его можно задать, перечислив все его эле- менты. Например, множество учеников класса — список в класс- ном журнале, множество стран — список в географическом атла- се. Если множество задано списком, то его элементы записыва- ют в фигурных скобках через точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}. Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств (в том смысле, что таким способом можно задать любое множество). Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, то есть такого свой- ства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству (записывают: А = {х | P(х)}, где P(x) — характеристическое свойство). Приведем несколько примеров: 1. Пусть A — множество остатков от деления натуральных чисел на 5, тогда A = {0; 1; 2; 3; 4}. 2. Если B = {n | n ∈ N, 3 ≤ n ≤ 12} — множество натуральных чисел, заключенных между 3 и 12, то B = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}. 3. Если D = {х | х ∈ R, –3 ≤ х ≤ 4}, то D — отрезок [–3; 4]. 4. Если X = {х | х2 – 3х + 2 = 0} — множество корней квадрат- ного уравнения, то X = {1; 2}.
Рассмотрим множество
⎧ n A = ⎨ ⎩n 2 − 2
⎫ n ∈ N⎬ ⎭
и выясним, при-
надлежат ли числа
1 ; 2
этому множеству. Число
1 ∈ A,
если су-
4 7 4
ществует такое натуральное число n, что
n n2 − 2
= 1 . 4
Для провер-
ки этого решим уравнение
n = 1 . n 2 − 2 4
Имеем
n2 − 4n − 2 = 0,
откуда
n1,2
= 2 ± 6.
Так как числа 2 ±
6 не являются натуральными, то
1 ∉ A. 4
Аналогично, решая уравнение
n = 2 , n 2 − 2 7
имеем
2n2
− 7n − 4 = 0,
откуда
n1 = 4; n2
= − 1 . 2
Так как 4 ∈ N и
2 = 4 , 7 4 2 − 2
получаем, что
2 ∈ A. 7
Упражнения 1. Задайте перечислением элементов множество, заданное ха- рактеристическим свойством:
а) A = {x
x 2 + 2x − 8 = 0}; б) B = {x в) C = {x г) D = {x
x ∈ N, 2 < x ≤ 8 2}; 5 x ∈ N, x4 − 5x2 + 4 = 0}; x ∈ Z, − 5 < x3 + 1 < 20};
д) E = {( x, y)
( x − 1)2 + ( y + 2)2
= 0};
е) F
= {x
x ∈ Z,
x < 5} ;
ж) P = {x
x ∈ N, − 4 < x < 6};
з) Q = {n
n ∈ N, n < 20, n − простое};
и) S
= ⎪⎧n
n ∈ Z,
n − 2n + 5 − целое⎪⎫ ;
к) T
⎪⎩ = {x
(n − 1)2 ⎪⎭ x ∈ N, − x2 + x + 6 ≥ 0}.
2. В данном множестве все элементы, кроме одного, облада- ют некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите эле- мент, не обладающий им. а) {сумма; разность; множитель; частное}; б) {4; 16; 22; 27; 30; 34}; в) {1; 15; 16; 25; 64; 121}; г) {синий; красный; круглый; бежевый; зеленый}; д) {4; 6; 12; 81; 441; 1113}; е) {Обь; Иртыш; Волга; Байкал; Ангара; Амур};
⎧3 7 1 ж) ⎨ ; ; ; ⎩4 11 3
5 ; =9 ; 4 16
=2 ⎫ ⎬ ; 9 ⎭
з) {шар; пирамида; параллелограмм; цилиндр; конус}.
3. Исследуйте, принадлежат ли числа
1 ; − 1 ; − 1
множеству
⎧ 3 − 2n ⎫
2 8 4
A = ⎨ ⎩n2 + n
n ∈ N⎬. ⎭
4. Определите, по какому закону составлено бесконечное множество, содержащее числа:
⎧ а) ⎨6; 2; ⎩
=2 ; 3
=2 ⎫
...⎬ 9 ⎭
⎧ б) ⎨ ⎩
1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 5 8 11 14
=9 ⎫
...⎬ 17 ⎭
⎧ в) ⎨ ⎩
3 ; 8 ; 4 9
15 ; 16
24 ; 25
=35 36
⎫
...⎬ ⎭
г) {2; 6; 12; 20; 30; …};
⎧3 д) ⎨ ; ⎩7
5 ; 7 ; 11 15
=9 ⎫
...⎬ 19 ⎭
е) {4; 18; 48; 100; 180; …}. 5. Задайте характеристическим свойством множества: а) всех правильных многоугольников; б) параллельных прямых; в) всех натуральных чисел, кратных 5. 6. Какие из следующих множеств пустые: а) множество корней уравнения |x – 7| = 7; б) множество прямых плоскости, перпендикулярных двум пересекающимся прямым;
в) множество решений неравенства
( x − 10)2 ≤ 0 ;
г) множество корней уравнения |9 – 5x| = –3; д) множество отрицательных корней уравнения |x| = –x. Ответы: 1. а) А = {–4; 2}; б) B = {3; 4; 5; 6; 7; 8}; в) C = {1; 2}; г) D = = {–1; 0; 1; 2}; д) E = {(1; –2)}; е) F = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}; ж) P = {1; 2; 3; 4; 5}; з) Q = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}; и) S = = {–1; 0; 2; 3}; к) T = {1; 2; 3}. 2. а) результаты арифметических действий; множитель; б) четные числа; 27; в) квадраты чисел; 15; г) прилагатель- ные, определяющие цвет; круглый; д) кратны трем; 4; е) реки;
Байкал; ж) правильные дроби; параллелограмм.
5 ; з) пространственные тела; 4
3. 1 ∈ А; 2
− 1 ∉ А; 8 6
− 1 ∈ А. 4
2n − 1
4. а) an
= , n ∈ N ; б) an 3n −1 (n + 1)2 − 1
= , n ∈ N ; 3n + 2
в) an =
(n + 1)2
, n ∈ N ; г) an
= n(n + 1) ,
n ∈ N ;
д) an
= 2n + 1 , 4n + 3
n ∈ N ; е) an
= n(n + 1) 2 , n ∈ N .
5. а) многоугольники с равными сторонами и равными угла- ми; б) прямые, не имеющие общих точек; в) {5n | n ∈ N}. 6. б) ∅; г) ∅. |
Добавление комментария:
Навигация
- Археология
- Архитектура
- Бизнес
- Биология
- Бухгалтерский учёт
- География
- Документоведение
- Издательская деятельность
- Информатика
- История
- Культура речи
- Культурология
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Международные отношения
- Менеджмент
- Наука
- Недвижимость
- Образование
- Охрана труда
- Политология
- Правоведение
- Промышленность
- Психология
- Реклама
- Религиоведение
- Русский язык
- Социология
- Спорт
- Страхование
- Технологии
- Управление качеством
- Физика
- Филология
- Философия
- Финансы
- Фотография
- Химия
- Экология
- Экономика
- Эстетика
- Языкознание
Лучшие книги
Глобализация: политические аспекты - Сирота Н. М.
Коммуникационный менеджмент - Рева В.Е.
Свобода личности в массовой коммуникации - Корконосенко С. Г.
Теория и практика связей с общественностью - Э.В. Бикбаева
Гендерный подход в менеджменте - Егорова Л. С.
Религиозные конфликты: проблемы и пути их решения в начале XXI века - Зеленков М.Ю.
Словарь по политологии - В.Н. Коновалов
Современные международные отношения - Протасова О.Л.
Самые читаемые
Ландшафтоведение - Н.П. Соболева
Лексикология современного русского языка - О. Л. Рублева
Введение в социокультурный менеджмент - Чижиков В.М.
Документоведение - Ларьков Н. С.
Территориальное планирование - Е.А. Позаченюк
Лекции по теоретической грамматике английского языка - Тивьяева И. В.
Коммуникационный менеджмент - Рева В.Е.
Краткий курс по ремонту автомобильной техники - Писковой И.Е.